“命题与其逆否命题的真伪是相同的”是怎么证明的？
2012-01-19 20:07:37   来源：   点击：

3 个答案

• 答案 1：

  我试下写一个证明，未必是最佳答案，稍微有点绕。但问题是，我至少现在还没看出简化证明的方法。　第一步：假设一个命题是「A 推出 B」，称此命题为「命题一」。那么它的逆否命题为「非 B 推出非 A」，称之为「命题二」。　第二步：需要证明命题一和命题二同为真或者同为假。这要分两个情况来看。　　情况 1：欲证明命题一和命题二同为真。这需要证明两件事：　　　　情况 1.a： 如果命题一为真，那么命题二为真。　　　　　1.a 的证明。 根据题设，命题一为真，即 A implies B。假设命题二为假，那么非 B 不推出非 A，也就是说非 B 有可能跟 A 同时成立。这是不可能的，因为根据题设，A 成立的时候 B 也成立，而 B 不可能跟非 B 同时成立。因此，命题一为真的时候，命题二必然为真。　　　　情况 1.b： 如果命题二为真，那么命题一为真。　　　　　1.b 的证明跟 1.a 的证明相似：把非 B 写成 A"，非 A 写成 B"，其他推理过程一模一样。　　情况 2：欲证明命题一和命题二同为假。这需要证明两件事：　　　　情况 2.a： 如果命题一为假，那么命题二为假。　　　　　2.a 的证明。根据题设，命题一为假，即 A 不推出 B。假设命题二为真，也就是说非 B 推出非 A。如果用 C 来表示非 A，D 来表示非 B，那么这个情况导致的矛盾跟 1.a 的证明里一模一样。细节略。　　　　情况 2.b： 如果命题二为假，那么命题一为假。　　　　　2.b 的证明。把题设和假设写出来，你会发现，一切跟 1.a 中的情形一模一样。证明略。

• 答案 2：

  第一次被邀请，小激动一下…设原命题为：若A成立，则B成立…那么它的逆否命题为若非B成立，则非A成立。不妨假设原命题成立。反证之：即非B成立时有非A不成立，即A成立；再由原命题，则B成立，于非B成立矛盾！故得证！同理于原命题不成立时的情况。PS：那会儿用手机回答的~比较乱，见谅~

• 答案 3：

  数理逻辑我也忘得差不多了，依稀记得世界上有种东西叫真值表，可以用它说事情嘛。命题不妨叫“若A则B”，形式表示就是 A→B。这个命题的逆否命题叫做“若非B则非A”，形式表示就是?B→?A，然后你就去查真值表的计算吧，一共也就四种情况：A B A→B ?B ?A ?B→?AT T T F F TT F F T F FF T T F T TF F T T T T看明白这个 “若A则B” 和 “若非B则非A” 两者在真值表计算里面完全一样的吧，真伪相同这不就证明出来了。只要承认这个真值表，那就是个自然计算出来的结果。