圆上任选三点组成三角形，这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少
2012-01-19 20:20:17   来源：   点击：

6 个答案

• 答案 1：

  取极坐标下单位圆。取A点。不失一般性，设A点所处角度为0。取B点，B点角度 t 在(-pi, pi]的范围内均匀分布。即B点处于(T, T+dt)中的概率为dt / 2pi取C点，討論B点角度 tt＞0，则C在(-pi, t-pi)的范围内时，ABC为锐角。t＜0，则C在(pi+t, pi)的范围内时，ABC为鋭角。以上两个事件概率都为 |t| / 2pi最后要求的是：|t| dt / (2 pi)^2 对 t 从 -pi 至 pi 积分答案是 1/4

• 答案 2：

  辩证一下：既然圆上任选三点，那么我选一直径的两点，第三点随便，不重合就OK，那么直角三角形机率为0？

• 答案 3：

  任取一点A，计算该情况下的条件概率。可以设想把圆从A点剪断，拉成一直线，就转化为常见的相遇问题了。然后由此条件概率计算出所求概率。不同取法答案可能不同，但这些取法下点在圆周上就不是均匀分布了。

• 答案 4：

  设一点固定，因为无论如何随意取三点，都可以视为一点固定。不用图说不清楚，我尽量试试吧，把圆分为上左圆，上右圆，下左圆，下右圆。固定点在上左圆和上右圆的中点。直角三角形很少，因为要以固定点和圆的圆心为最长边。这样直角三角形在圆中无限个三角形中，其概率可以说无穷小，趋近于0。钝角三角型的概率最大，(固定点，上左圆和下左圆的中点，上右圆和下右圆的中点）之间，除了取点重合以及直角三角形外的所有三角形都是钝角三角形。另外，(固定点，另外两个取点都在下右圆或者是下左圆）都是钝角三角形。其概率是无限趋近于四分之三。锐角三角形的概率无限趋近于四分之一，（固定点，一个取点在下左圆，一个取点在下右圆），除去重合以及可以成为直角三角形的点，都是锐角。自己画个圆形，然后作图就明白了。我倒觉得我越说越糊涂了。

• 答案 5：

  （有错误，慎看）锐角为1/4。思路：假设有一个锐角三角形ABC，那么其外接圆的圆心O点一定在三角形的内部。找到ABC点关于O点的对称点DEF，连接BD，CD，AE，CE，AF，BF。那么ABF，ACE，BCD是钝角三角形，因为其三角形外接圆圆心O点在三角形的外面。所以在一个圆中如果找到一个锐角三角形，那么就对应有三个钝角三角形。由于出现直角三角形概率为0（不可能事件），所以锐角三角形出现概率为1/4。

• 答案 6：

  为什么直角概率为零？