雪花为什么边长无限，面积有限？
2012-01-19 19:54:06   来源：   点击：

11 个答案

• 答案 1：

  这个问题很好……换个说法就是雪花为什么分形？我并不非常清楚。边长无限面积有限，是Koch雪花的性质，这是一个理想化分形结构。自然的雪花也算是有这个性质。我们知道很多自然界的东西是分形的，我们知道分形的性质，也可以在计算机中生成分形结构。但是我觉得人们对自然界中分形的产生机理还知道的很少 （也可能是我孤陋寡闻）。目前有一些模型试图解释成核和晶体生长过程中产生的分形，比如DLA[1]是比较出名的一个。看来有必要详述一下：DLA的基本想法很简单：环境中的粒子随机行走，如果撞上晶体就成为其一部分，晶体如此生长。DLA考虑的物理过程简单且合理，它能模拟出很多分形结构，是比较成功的。具体到雪花，它们除了分形，还有对称性，六度对称是是来自晶体的对称性。在雪花的尺度下，晶体生长的物理条件比较均匀，所以六个方向的生长基本一致。但是不同的雪花生长的物理条件就大相径庭了 ，所以没有两个雪花是一样的。考虑这些因素，然后用DLA的想法去模拟，有人生成了雪花分形的样子[2]。还不错……但是，自然界中的雪花要复杂漂亮得多了，还有许多研究要做。[2]中有更詳細的解释和漂亮的图片。我邀请了＠金晨羽 来回答……一个希望能在几年内能研究出一个更好的答案的博士生。[1]en.wikipedia.org/wiki...[2]classes.yale.edu/fractals...

• 答案 2：

  定义曲线的长度是使用折线逼近的, 如果用折线逼近分形的边界, 折线的长度没有上界, 所以说, 分形的边界没有长度, 或长度为无穷大.严格说, 大部分分形的边界并不是一个曲线, 长度 这个概念不适用于它.面积, 长度 等概念只适用于可测集, 不可以随意说一个点集的面积, 长度等.一般, 一维说长度, 二维说面积. 维数可定义为集合线度扩展一倍后所含与原图形相似的图形个数的对数(底为2). 如此看来, 大部分平面分形维数大于一, 小于二, 没有长度是自然的.平面分形边界所围的图形, 明显有上测集, 就是可以放在一个大的矩形里, 自然有面积上限.

• 答案 3：

  严格来说Koch雪花是面积有限、长度无限的，是一种数学上的理论的分形（程序也只是模拟也无法完全实现，因为不可能无限循环下去）。自然界的雪花，还有菜花，都是统计意义上的分形，趋近于无限，但实际上不是无限的。同意上述长度和面积的概念对分形集不适用的说法，分形维数定义下雪花应该是介于1和2之间的一个维数。对分形集的对应于面积、长度的概念是测度，简单来说就是为微小集合在某种定义下（如质量密度）赋予一个数值，然后用微积分来进行研究，现在发现很多自相似集合并不是完全满足自相似，因此发展出了用多重分形(multifractal)测度来进行研究。我最近看了些分形物理机理的文献和书籍，想用于故障诊断方面。分形成因众说纷纭，DLA是很经典的一种对雪花的解释，分形或多重分形是在具有大量相互作用情况下导致多重叠加的动力系统中大量存在的。

• 答案 4：

  关于原问题，很容易回答（因为边长不是光滑的，真实长度决定于测量工具的精细度），我就不罗嗦了。最近正在搞分形的东西，看到前面提到“为什么分形结构在自然界普遍存在”的问题，就试着回答一下。自然界的大部分结构都是越微小越复杂的，你越接近地观察，就能揭示出越多的细节。比如树干的外型，儿童画可以将其抽象为条笔直的线（一根树干就是两条线），但是你仔细地观察，会发现由于树皮的凹凸不平及枝节等导致树干不是笔直的线。巧合的是，大部分自然界的微结构会近乎一致地符合“分形”的特征。就是同一类的树木外型相似，但是每一棵的每一部分都不会完全相同。关于“自然界中分形的产生机理”—— 大多数自然系统是整体确定，局部随机的。一个健康成熟的进化系统可以容许随机误差的出现。物理分形结构比一般简化对称性的结构更具有容错性（West 和Goldberger(1987)）。比如肺。它的主干气管分成两个支干气管，然后这两个支干气管继续分支，往后每一级的直径按上一级的直径减少。在每一级别的枝节上，统计上的平均直径是确定的，但每一个枝节的值不确定；每一节的平均直径依据幂法则规模递减，并且任何单个枝节仅能以概率意义描述。这就存在“整体的确定性”（平均的枝节）和“局部随机性”（单个枝节的直径） 为什么更具有容错性、更稳定呢？ 假如直径是普通地按指数形式规律递减分布的，那么，某级别某枝节的误差，会一级一级传递到更微小的结构下，使得整体变得畸形和失效。 然而，若按分形的规模比例变化，整体的幂法则以及局部概率机构，误差则有较小影响。因为每一个直接有一个直径的范围，一个畸形支干在其他枝节的形式上有较小影响，也就是基本不影响同级别分布的平均值。所以分形结构（整体确定，局部随机）在形式上比其他机构更具有容错性。 这就是自然界的牛叉之处吧。 嗯，我葱白它。

• 答案 5：

  小学时，老师跟我们说，长方形有无数条高。以相邻的高为对边作小长方形，则有无数个小长方形。这些小长方形的边长之和无限而面积之和有限。我只能说，边长与面积没有必然联系。想一下，在长度有限的线段上有无限的点。

• 答案 6：

  雪花是典型的Koch分形算法，这个算法的特点就是无限循环，每个小循环构成一个大循环，从而以看起来边长无限用程序演示一下，就能看到这个边界和面积

• 答案 7：

  做一个模型计算一下就好了，边长会是一个发散级数，而面积是一个收敛级数。最简单的模型：正三角形，每次在所有边的两个三等分点向外侧拓展一个小的正三角形。计算只需要高一的知识，级数敛散性只需要大一高数的知识，拿出笔来试一试吧~

• 答案 8：

  边长是二维的，体积是三维的。

• 答案 9：

  用海岸线为例，你拿着米尺量海岸线，得到一个数据，你那游标卡尺量海岸线，又会得到另个一数据，不停的精确你的工具，你得到的海岸线周长几乎是无限的。而面积与周长是没有关系的。。。。

• 答案 10：

  一个是二维度量，一个是一维度量。

• 答案 11：

  个人这种问题去baidu还是更好一些吧。ginajing.blog.163.com/blog...">ginajing.blog.163.com/blog...