怎样学习抽象的数学？
2012-01-19 17:39:49   来源：   点击：

4 个答案

• 答案 1：

  受邀。vieplivee推荐了很多具体的教材什么的，我就不推荐了。我是中途转数学的，也是大三开始自学群论。不过我的优势是物理系的数学基础本就不错，另外我有物理图像，群论是对物理很重要的一个科目。抽象，就是独立于经验与物理现实，但是抽象不是说和经验现实没关系。经验现实是抽象概念的来源，人的思维不会凭空造出个东西。因此抽象概念一定能在现实中找对某种程度的实现，这就是数学图像，对于理解是很有用的东西。以群论为例，维基给相关话题使用了魔方的图片，这就是一个很赞的图像。群就是变换，其意义体现在可以作用于其他对象上，就像是你旋转魔方使其状态改变，子群什么的概念就都显而易见了。但是不能停留在图像上，因为抽像概念毕竟是独立于经验现实的，是有一系列公理和性质所定义的。有数学图像不等于理解，只能帮助理解。常有人问怎么想象三维以上的空间，事实上我们没有想象。我们有多维空间的数学定义，严格按照定义来推导，有时想想二维三维的情况获得一些启发。这里就是硬工夫了，看能不能静下心，有时还要排除数学图像的干扰。我认为这个能力也是可以培养的，途径就是多看多做举一反三。数学研究中经常说有灵光一现，其实没读大量的文献，没学大量的数学，哪来的灵感。每个数学上的突破都只是在许多其他人的工作上做的微创新，虽然可能数学家本人没有意识到。佩雷尔曼拒绝奖金，因为方法是别人发明的，他用了而已……可谁不是呢。我建议找有答案的教材，先参考着答案做题，然后自己总结方法思路，自己就开始会做了。问题在是否善于总结归纳。不擅长的话，应试教育所用的题海其实是有道理的，逼你习惯各种方法技巧。引用巴拿赫的名言，体现举一反三的境界：A mathematician is a person who can find analogies between theorems;a better mathematician is one who can see analogies between proofsand the best mathematician can notice analogies between theories.One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.

• 答案 2：

  首先，这要看你在数学方面的基础如何。群论是抽象代数的重要部分，也是最精彩的部分。所以我假设你指的是「抽象代数」而非「抽象数学」。因为我喜欢组合数学，所以从这个角度给你一点建议。首先，任何抽象的概念应该结合具体的例子来学习，例子越多越好，最好攒上一堆。后面再说怎样找例子。刚开始学的时候不必花太多时间在定理证明上，反倒可以多花时间看那些定理是如何「应用」在这些例子上的，一个一个扒着检查，如此让定理在脑中「有存在感」（make sense）。在群论上，我觉得Polya的「群作用」（group action）[1] 应该能给你提供大量的例子，不仅帮助你群论入门，而且Polya的思想也不止于此，值得将来深入学习研究用。我不知道你能接触到是什么材料，不过那个wikipedia应该能提供一些灵感吧。另外，我觉得Michael Artin的Algebra非常适合抽象代数入门之用。这本书的好处是可深可浅，最深的部分当做研究生教材也可以了，而浅的部分浅显易懂，非常好看。英文原文写得优美完备，建议想方设法看英文。如果有了这本书，那对群作用的理解也能达到一个相当的层次了。Polya的理论可以配合一起看。如果你有问题不妨提出。我会在力所能及的范围内，尽可能给予回答。另外，我帮你多邀请了王玉超来回答你的问题。他跟陈浩的数学都比我做得好。[1]en.wikipedia.org/wiki...[2]amazon.com/Algebra-...

• 答案 3：

  受vieplivee之邀来回答这个问题很有诚惶诚恐的感觉，毕竟自己的代数非常的不乐观，感觉自己还是更多的纠结于分析的方法。关于抽象代数，陳浩和vieplivee二位讲了很多很深刻的东西，我就姑且说一些自己的感受吧。我们本科时候学习的近世代数课程我认为是很失败的，评价起来就是枯燥乏味，晦涩难懂。硕士时候重新学习，用的教材就是vieplivee所提到的Artin的教材。学过之后给我留下的印象就是，近世代数是一门很有趣的课程，具体表现在，它本质上是很抽象的，是在玩概念，而它却又是大量讲述例子的，对例子的理解可以帮助你更深刻的体会那种思想。相比较而言其它课程就不太一样，它们则更多的可以被“感受”到，而并不需要借助很多例子来阐述。我觉得学习近世代数一个很关键的点就是要多多体会例子，以期更好的理解抽象的概念，正如上面vieplivee所建议的那样。很荣幸能够在这里谈一些自己的想法，如果有兴趣，我们可以继续讨论。

• 答案 4：

  我们是组队一起读书的~读的S.Lang的代数，一个人孤军奋战比较困难啊~