傅里叶变换公式如何理解？
2012-01-19 17:51:42   来源：   点击：

5 个答案

• 答案 1：

  先回答2，负号是个约定，你可以写成正号，不过那样的话要把整本书的符号都改掉。一般在书的最前面会说明这个约定。然后回答1傅里叶变换就是把信号表示成正弦波的叠加。经过傅里叶变换，信号f(t)变为F(w)，F(w)的大小表征了频率为w的正弦波的强度。你的问题是要解释一下为什么这样变换就可以做到这件事。数学上，我们说正弦波是正交的，意思是e^(jwt) e^(-jw"t)积分后是delta函数，w"=w时为无穷大，否则为0。试类比矢量的正交，设x,y分别是二维空间里两个方向的单位矢量，他们正交是指他们之间的点积x.x=y.y=1, x.y=0。现在请把e^(jwt) e^(-jw"t)的积分看做两个正弦波e^(jwt)和e^(jw"t)的“点积”。一般一些的话，两个任意信号f1和f2的“点积”就定义为f1乘上f2的共轭，再积分。对一个矢量v，它和x的点积v.x就是矢量v在x方向上的分量大小。类比两个信号的“点积”，正弦波就相当于单位矢量。你现在是否理解了为什么乘上一个正弦波再积分就可以得到这个正弦波的强度？没有LaTeX真不爽……

• 答案 2：

  补充一下：傅里叶变化只是提供了另外一种解决问题的方式，使得一些在时域中难以处理的问题转化到另外一个域中傅里叶变换实质是把一个信号分解成为许多正弦信号的和。（因为e和sin、cos的那个关系，没法写那个公式），所以在频域中对应有两种表达的方式在时域、频域、复频域中都有先对应的方法，傅里叶变换，拉普拉斯变换《信号与系统》这本书中有更详细的解释。

• 答案 3：

  // 在@陳浩 的基础上补充一些。// 顺便捋清一些概念，便于理解 : )　(1) 傅里叶展开傅里叶展开，是将一个周期性函数，改写成一系列正弦函数和余弦函数的级数之和，且该“和”的极限，与原函数相等。（虽然正弦和余弦只相差一个 90度 的相角，但是这样说比较易于理解，后面会再提到）。级数的每一项系数，被称做“傅立叶系数”，可记为 F(nw)。w 是该原函数的周期所对应的角频率（基频）。扩展内容，可参考[1]及其延伸。(2) 傅里叶变换对于非周期函数，如果也希望像 (1) 中那样 “展开”，则需要进行一定“推广”。将原本的“离散级数和”推广成为“连续积分和”后，即可解决这一问题。（具体推导略，可查教科书。）这种连续积分和的表达，就叫“傅里叶逆变换”。在逆变换中，原本的 F(nw)，被推广为 F(W)；它的值为：2PI*F(nw)/w 的极限，其中w趋向于零。这里用w和W来区分前后两个自变量，其中 dW = delta(nw)。显然，通过傅里叶逆变换的等式，可以反解出 F(W) 的表达式。这就是“傅里叶变换”。　(3) 时域和频域个人认为，从时域变换到频域，其实只是一种“看法”或“表示方法”上的转变。由于三角函数都是单频的，因此，将原函数改写成多个三角函数的和的形式，便于直接从表达式中观察出它的“频率成分”；同时，也便于直接在频率组成上对原函数进行进一步的处理。　(4) 关于某个叫欧拉的人所干的事情e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt)e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)sin(wt) = (1/2j) [e^(jwt) - e^(-jwt)]cos(wt) = (1/2j) [e^(jwt) + e^(-jwt)]（关于以上公式，参见复分析领域欧拉公式相关内容[2]。）有了以上公式，就可将傅里叶级数、傅里叶变换/反变换等相关公式，改写成“指数形式（e的指数形式）”。它同时展示了一点：e^(jwt) 在复平面中，可以作为一个“基”，因为它已经包含了实轴（实数单位“1”）上和虚轴（虚数单位“j”）上两个正交的“基”。这也从另一个方面解释了，为什么总是可以用之前傅里叶的方法，来“分解”很多函数。　(5) 关于“负号”那货谈下个人想法。在“傅里叶展开”和“傅立叶逆变换”中，都是以 e^(jwt) 或 e^(jWt) 的样子出现的，没有负号，这个时候，原函数在等号左边，展开式和傅里叶系数（F(nw) 或 F(W)）在等号右边。当我们要反解出傅里叶系数时，它自己跑去等号左边，而原本跟它在一起的 e^(jwt) 或 e^(jWt) 还呆在等号右边，因此，不得不出现一个负号（由乘除法引入，因此负号在指数中）。一般逻辑上，我们推导的顺序是：[傅里叶级数展开] --(推广)-- > [傅立叶逆变换] --(反解)-- > [傅立叶变换]因此，在傅里叶变换中，大家就看到一个带上负号的 e^(-jWt) 了。　　[1]http://zh.wikipedia.org/wiki/傅立叶分析[2]http://zh.wikipedia.org/wiki/欧拉公式

• 答案 4：

  你也可以从概率论中的特征函数去理解它。

• 答案 5：

  没那么多话，傅里叶就是把非周期性、无规律的波形分解为不同频率的正弦波，你说算出来的——或者说频域——只是这个正弦波的幅值。我倒是很想知道Laplace变换是什么意思，怎样从物理上直观地理解复频域，它又是怎样同时域联系起来的